OC11_G50.5 Orden y Caos

#1 Una leyenda árabe

Cuenta una leyenda árabe que Abdel Salam y Al-Mustafá, dos comerciantes persas, regresaban de un viaje de negocios realizados en tierras lejanas a su aldea de residencia, en compañía de otros comerciantes. Las personalidades de ambos personajes eran muy diferentes: Salam le gustaba presumir de su riqueza y era avaricioso, mientras que Mustafá era más callado y analítico, pendiente de la escucha.

Todas las noches durante el período de regreso, se sentaban los grupos de comerciantes alrededor de una fogata para compartir anécdotas, pero Salam, no hacía otra cosa más que presumir su riqueza aludiendo al hecho de que no había comerciante alguno que tuviese su riqueza, mientras que Mustafá se mantenía callado. Durante la última noche previo a su llegada a Persia, Mustafá tomó la palabra y dijo: soy tan rico que estoy en capacidad de regalar parte de mi fortuna a quien desee, sin que eso afecte mis finanzas, podría inclusive regalarle ese dinero al más rico de Persia (incluyendo a Salam) y aún así, este nunca me podría igualar.

Salam empezó a enfadarse de envidia, pero, seguía escuchando. Continuó Mustafá diciendo: para celebrar mi llegada a Persia, he decidido obsequiar durante un mes, la suma de $100 000 por día hasta llegar al día 31.

Salam, con su buen olfato para los negocios, no negó en ofrecerse como voluntario para albergar dicha fortuna, ofreciendo su incondicional amistad de por vida a Mustafá y que además, estaría dispuesto a cumplir cualquier favor. Entonces, Mustafá le dijo: acepto tu ofrecimiento, pero a cambio te pido lo siguiente, el primer día cuando vengas por los $100 000, deberás pagarme un centavo, el segundo día te llevarás otros $100 000 y me pagarás 2 centavos, similarmente al tercer día me pagarás 4 centavos, y así sucesivamente hasta llegar al trigésimo primer día. Salam le extrañó la petición de Mustafá, pero, al ver la ridícula cantidad que tenía que pagar en comparación con lo recibido, aceptó el trato.

Esa noche Salam no pudo conciliar el sueño, pensando en la cantidad de dinero que estaría recibiendo durante los siguientes 31 días.

Solución:

Aquí les presentamos una tabla comparativa de lo que recibió cada uno de los árabes:

Reto #1
Una leyenda árabe
Días	Cantidad que recibió Abdel Salam	Cantidad que se le dio Al-Mustafá
1	$ 100.000,00	1
2	$ 100.000,00	2
3	$ 100.000,00	4
4	$ 100.000,00	8
5	$ 100.000,00	16
6	$ 100.000,00	32
7	$ 100.000,00	64
8	$ 100.000,00	128
9	$ 100.000,00	256
10	$ 100.000,00	512
11	$ 100.000,00	1024
12	$ 100.000,00	2048
13	$ 100.000,00	4096
14	$ 100.000,00	8192
15	$ 100.000,00	16384
16	$ 100.000,00	32768
17	$ 100.000,00	65536
18	$ 100.000,00	131072
19	$ 100.000,00	262144
20	$ 100.000,00	524288
21	$ 100.000,00	1048576
22	$ 100.000,00	2097152
23	$ 100.000,00	4194304
24	$ 100.000,00	8388608
25	$ 100.000,00	16777216
26	$ 100.000,00	33554432
27	$ 100.000,00	67108864
28	$ 100.000,00	134217728
29	$ 100.000,00	268435456
30	$ 100.000,00	536870912
31	$ 100.000,00	1073741824
		$2.147.483.647%100 (Se divide entre 100 pues lo que recibe son centavos)
	$ 3.100.000,00	$ 21.474.836,47
	$21 474 836.47 -$03 100 000.00 --------------------- =18 374 836.47
	Mustafá ganó un total de $18 374 836.47 más que Salam

	La fórmula recursiva es: a_n=2a_n-1
	La fórmula explícita es: a_n=2^n-1	Donde "n" representa la cantidad de días.

Para averiguar la fórmula recursiva basta con fijarse que cada día Mustafá recibe el doble que el anterior, vemos que el día 1 recibe un centavo, el día 2 recibe 2 centavos, el día 3 recibe 4 centavos y así sucesivamente. De esta manera se puede averiguar la fórmula recursiva.

Con respecto a la fórmula explícita vemos que el crecimiento de lo recibe Mustafá se da de la siguiente manera:
El primer día: 2⁰ =1

El segundo día: 2¹=2
El tercer día: 2² = 4

Con esto se deduce que si elevamos 2 al número de día "n" menos 1 averiguamos la cantidad exacta que ganó Mustafá "n" día.

#2 La sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci fue propuesta por Leonardo de Pisa Fibonacci, él se basó en la sucesión reproductiva de los conejos por ejemplo en la fig. 1 se muestra esta sucesión.

Fig. 1

Esta sucesión describe una serie de números, que se obtiene por adición de los dos números anteriores, obteniéndose la serie: 0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, etc.

¿Qué situaciones describe esta serie? Bien, esta serie se hizo especialmente famosa por describir las proporciones de la naturaleza de forma muy amplia además se ha extendido en campos como las matemáticas, ciencias de la computación, biología o teoría de juegos.

Las famosas proporciones que describen la serie de Fibonacci se van obteniendo mediante cocientes entre números de la serie, por ejemplo, si se divide dos números consecutivos de la serie obtendrás una proporción de 0.618, por ejemplo, 21 entre 34. Si divides dos números alternos obtendrás 0.382, por ejemplo 55 entre 144. Todas estas proporciones son las llamadas "proporciones áureas"

Las sucesiones de Fibonacci también representan un rol dentro de la naturaleza por ejemplo:

En la Botánica:

La serie se puede encontrar en ciertas flores que tienen un número de pétalos que suelen ser términos de dicha sucesión; de esta manera el lirio tiene 3 pétalos, algunos ranúnculos 5 o bien 8, las margaritas y girasoles suelen contar con 13, 21, 34, 55 o bien 89.

En la Genética:

El número de descendientes en cada generación de una abeja macho o zángano nos conduce a la sucesión de Fibonacci, y por lo tanto, al número áureo.

Una vez inseminada la abeja reina por un zángano (de otro enjambre), aquella se queda en su colmena y ya no sale más, dedicándose a la puesta de huevos que ella misma va fecundando o no, dando origen así a abejas obreras, o bien reinas, en el primer caso y machos o zánganos en el segundo. Si observamos el árbol genealógico de un zángano, podemos ver como el número de abejas en cada generación es uno de los términos de la sucesión de Fibonacci.

Formula explícita:

Demostración:

f_n+2- f_n+1- f_n=0, con f₀=0 y f₁=1

EC: t² - t -1 = 0

Soluciones:

$t=\frac{1\pm\sqrt 5}{2}$

De esta forma la fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci es:

$f_n=b\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^n+d\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)^n$

Se toman las condiciones iniciales para satisfacer el sistema de ecuaciones:

$\left.\begin{array}{rcl}b+d & = & 0 \\ b\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)+d\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)&=&1\end{array}\right\}$

Las soluciones serían:

$b=\frac1{\sqrt5},d=-\frac1{\sqrt5}$

Por lo tanto cada uno de los números de Fibonacci puede ser expresado de la siguiente manera:

$f_n=\frac1{\sqrt5}\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^n-\frac1{\sqrt5}\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)^n$

Para simplificar la expresión se puede tomar el número áureo:

$\varphi=\frac{1+\sqrt5}2$

Entonces la expresión se reduce a:

$f_n=\frac{\varphi^n-\left(-\varphi\right)^{-n}}{\sqrt5}$ (Fin de la demostración)

Para todas aquellas personas que quieran ampliar sobre el tema les recomendamos este link aborda varios temas interesantes sobre la sucesión de Fibonacci y el número áureo: http://www.bloganavazquez.com/tag/serie-de-fibonacci/

http://www.youtube.com/watch?v=fuCPXzAhNM4&feature=related

#3 La Torres de Hanoi

La Torre de Hanoi es un juego que consiste en tres estacas montadas en una tabla y n discos de varios tamaños con agujeros en sus centros. Se supone que si un disco está en una estaca, sólo un disco de diámetro más pequeño se puede colocar encima de él. Si se tienen todos los discos apilados en una estaca específica inicial, el problema consiste transferir los discos a otra estaca moviendo un disco a la vez.

Número de Discos	Cantidad de movimiento	¿Cómo calculamos la cantidad de movimientos?
1	1	a₁= 1
2	3	a₂= 2 a₁ + 1
3	7	a₃= 2 (2 a₁ + 1)+1

Entonces la columna tres nos muestra que sucede cada vez que se aumenta un número, con estas pistas logramos calcular la formula recursiva que aparece a continuación:

a_n= 2 a_n-1 + 1

Entonces con la formula anterior vamos a calcular lo que sucede si tuviéramos cuatro discos.

Tenemos:

a_n= 2 a_n-1 + 1

a₁= 1

a₂= 2 ×1 + 1

a₃= 2 (2 + 1) +1

a₄= 2 (2²+2 + 1) +1 = 2³+2² + 2+1=15

a_n= 2^n-1+2^n-2+…….+2²+2+1

Entonces asuma que:

1+2+2²+2³………+2ⁿ= 2ⁿ⁺¹– 1

Asumiendo lo anterior podemos realizar la formula explícita para calcular el número de movimientos de las Torres de Hanoi:

a_n=2^(n-1)+1– 1

a_n=2ⁿ– 1……………….. Fórmula Explícita

SI desean realizar el experimento en este link encontrarán un juego de las torres de Hanoi: http://juegos.todoenlaces.com/online/871/Las_Torres_de_Hanoi.html

#4 El reto matemático

La matemática es parte esencial de todas las ingenierías que se imparten en Costa Rica, así como también lo son la física, química y biología. Para aquellos estudiantes que les ha costado matemáticas en el colegio, escoger una carrera es muy difícil puesto que si su experiencia con ella no ha sido buena al hacer la elección acerca de lo que desea estudiar en la Universidad prefieren escoger alguna carrera que lleve poco o nada de matemática.

Esto en sí representa un problema, pues las ciencias sociales son las únicas que incluyen poca matemática en su plan de estudio, razón por la cual son las más escogidas por los jóvenes, que a veces no toman en cuenta que el mercado laboral para esta clase de materias no es tan amplio.

Costa Rica es un país en vías desarrollo que está interesado en implementar tecnología, además tiene Universidades especializadas en este ámbito como lo son el Instituto Tecnológico de Costa Rica(TEC) y la Universidad de Costa Rica(UCR). También empresas como Intel y Abbott se han interesado en el país y junto con empresas nacionales y estales, año a año requieren nuevos ingenieros para que laboren en sus industrias.

El miedo a enfrentarse a la matemática a nivel universitario, es algo que muchos jóvenes deben considerar para poder ingresar a una ingeniería. Para eso deberían hacer un análisis de porqué están fallando en esta materia, muchas veces hace falta un poco más de estudio o practicar todos los días si es necesario para poder comprenderlas, o simplemente tomarle más interés a la materia y no simplemente decir “No me gusta esta materia, porque no la entiendo y me cuesta mucho”

Les invitamos a que den su opinión acerca de este tema y a que nos comenten su experiencia personal con las matemáticas.

Para aquellos que deseen ampliar información sobre este tema les dejamos un link del periódico La Nación que aborda este tema: http://www.nacion.com/2011-04-02/ElPais/Relacionados/ElPais2732058.aspx

OC11_G50.5 Orden y Caos

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jueves, 2 de junio de 2011

#1 Una leyenda árabe

#2 La sucesión de Fibonacci

#3 La Torres de Hanoi

#4 El reto matemático